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一蓑一笠一孤舟,一丈丝纶一鱼钩,一曲高歌一樽酒,一人独钓一江秋.

蚂蚁都知道走折射路线, 最小作用量原理的物理之美

假如你是造物主,想用最简洁的原理创造一个有规律的世界,那么最小作用量原理可能是你的最佳选择,因为这条原理贯穿了经典物理学到现代物理学,甚至在宇宙学、经济学、生物学中都发挥着作用。

费马原理

生物学家对火蚁的行为研究发现,火蚁在通过两种不同介质的表面时,它们趋向于选择耗时最短的路径,而不是距离最短的路径;研究人员还解释到,火蚁依靠化学痕迹确定路线,在长期的进化过程中,火蚁会集中形成最佳路径,以此节省爬行时间和能量。

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火蚁这种选择最短时间路线的现象,类似于物理学中光的折射,也就是光在斜着穿过两种透明介质的交界处时,其传播方向会发生变化,并满足折射定律“n1sinθ1=n2sinθ2”。

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早在16世纪,荷兰物理学家斯涅尔就发现了折射定律,到了17世纪,法国数学家费马进一步提出费马原理,当时他称之为“最小时间原理”,内容是:光总是选择耗时最少的路径传播。



费马原理更准确地应该称之为“平稳时间原理”,因为在某些特殊的场合,光可能会沿着时间最长或者时间拐点路径传播,也就是时间的一阶导数为零的路径。根据费马原理,我们很容易推导出几何光学的直线传播定律、反射定律以及折射定律.

比如下图中,光从A点传播到B点,期间穿过介质1和介质2的交界处,并且在介质2中的传播速度低于介质1,对于光线来说有无数种路线可以选择,比如A到B的直线就是一条看起来不错的路径,也可以选择交界面上任何一点O为拐点。

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“光在同种介质中沿直线传播”的前提下,我们根据费马原理,光选择时间最短的路径传播,会使得下面这个式子的值最小:

AO/v1+BO/v2=min

其中:

AO^2=CO^2+AC^2

BO^2=DO^2+BD^2

CO+DO=CD=定值

且AC、BD为定值

对公式进行微分可以得到:sinθ1/v1=sinθ2/v2

我们定义介质的折射率后,就有折射定律n1sinθ1=n2sinθ2。

最小作用量原理

费马原理虽然只适用于几何光学当中,但是在其他领域同样起着指导作用,比如约翰·伯努利曾经借助这个思想,成功地解决了最速降线问题。有了费马原理的思想,再经过多位数学家和物理学家的推进,在18世纪发展出最小作用量原理。

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最小作用量原理的一个表述版本:对于所有的自然现象,作用量总是趋向于最小值。

当该原理应用于机械系统时,就得到该系统的运动方程,比如一条两头悬挂的铁链,铁链的形状总是使得整条铁链的重力势能最低。

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还有水滴总是趋向于球形,因为这样能使水滴表面张力最小,在地球表面附近,由于水滴自重把水滴重心拉低,这样在表面张力和重力的共同作用下,最终呈现出我们见到的水滴状。

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当把最小作用量原理应用于能量系统时,就得到了能量最低原理,也就是一个系统的能量越低越稳定,该原理不仅在经典力学中成立,而在量子力学和相对论力学中也有着重要应用,比如:

1、量子力学的原子模型中,核外电子处于基态时原子最稳定,此时核外电子的能量最低。

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2、原子核中的平均核子质量最低时,原子核最稳定,在所有原子中铁的平均核子质量最低,所以铁的原子核最稳定,所有聚变反应与裂变反应都是朝着铁进行的。

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3、太阳系和银河系之所以都成扁平状,是因为在引力势能和动能的共同作用下,该形状的能量最低也最稳定。

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我们在物理学的各个领域,都可以找到最小作用量原理的影子,比如拉格朗日力学就是基于最小作用量原理建立的;还有费曼发明的路径积分,以优美的形式解释了量子力学的波动性和粒子性,其灵感正是来源于最小作用量原理。

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在量子力学的双缝干涉实验中,用光的粒子性解释总有些违背常理的地方,而费曼积分解释到,光子会走所有的路径,但并不是所有路径的概率都相同,其中一些路径会相互叠加抵消,最终剩下的就是光子实际走的路径。

以上谈了这么多例子,给了我们一个非常好的启示:我们寻找物理规律,其实就是在寻找最小作用量。

诺特定理

在物理学中,还存一个和最小作用量相媲美的性质——对称性,一旦我们把作用量和对称性结合起来,还能得到更美妙的结果。

艾米·诺特是上世纪著名的德国女数学家,曾被爱因斯坦称为数学史上最重要的女人,也被誉为现代数学之母,她提出的诺特定理是现代物理学的中心结果之一。



诺特定理描述:力学体系中每一个连续的对称变换,都对应一个守恒量。

目前物理学有几十种这样的对称关系,大家最为熟悉的有:

空间平移对称性——动量守恒

时间转动对称性——角动量守恒

时间平移对称性——能量守恒

规范变换对称性——电荷守恒

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前面三种守恒定律演绎了时间和空间的基本对称规律,意味着无论在何时何地重复同一种物理实验,我们都能得到同样的结果;电荷守恒早在18世纪就被发现,直到诺特定理提出后,科学家顺藤摸瓜才有了规范变换对称性。

诺特定理告诉我们,物理规律的对称性就是作用量的对称性,我们要寻找最小作用量,可以先找到对称性,然后根据诺特定理找到对应的作用量,再去发现最小作用量,从而得到相应的物理规律。

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这是多么美妙的一件事啊!想想几百年前科学家要想得到物理规律,只能根据经验或者灵感去猜,现在我们有了一种系统的方法去寻找物理规律;而且以前看起来完全不搭边的守恒定律,居然都可以由诺特定理给出,难怪诺特定理在现代物理学中处于中心位置。

如果你是造物主,在创造世界时,肯定不会单独去设计诸如空气阻力F=(1/2)CρSV^2这种公式,你只需要设定最小作用量原理,然后添加几个作用量,并让作用量遵循某个对称性,这样大自然就变得美妙与和谐了。

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